Numerische Mathematik: Gewöhnliche Differentialgleichungen (de Gruyter Lehrbuch) (German Edition)

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Im Grenzübergang ! zero sehen wir das dazu konsistente Differentialgleichungssystem v zero D f . x/; x zero D v; additionally gerade unsere spezielle kontinuierliche Evolution. Unter der Annahme hinreichender Differenzierbarkeit haben wir damit nach Satz four. 37 die Existenz einer asymptotischen Entwicklung in zur Konsistenzordnung p D 1 gesichert. Da die gesamte Inkrementfunktion symmetrisch und somit die diskrete Evolution reversibel ist, folgt nach Satz four. forty two die Existenz von quadratischen asymptotischen Entwicklungen. Dieses theoretische Resultat ist die foundation der ausgereiften numerischen Integratoren DIFEX2 [51] und ODEX2 [90], bei denen zu vorgegebener lokaler Fehlertoleranz Ordnung und Schrittweiten simultan adaptiert werden (vergleiche das nachfolgende Kapitel five zur Schrittweitensteuerung). Im Unterschied zu den Integratoren DIFEX1 oder ODEX1, den Extrapolationsverfahren zur expliziten Mittelpunktsregel, besteht bei der Extrapolation der Störmerregel keine Einschränkung an die Unterteilungsfolge F , wir können additionally die einfache harmonische Folge FH D ¹1; 2; three; four; : : : º wählen. Als Konsequenz davon ist DIFEX2 für Systeme vom Typ (4. 30) etwa einen Faktor 2 schneller als DIFEX1, und sogar noch etwas robuster. 186 four Einschrittverfahren für nichtsteife Anfangswertprobleme Verlet-Algorithmus. Wichtigste Beispielklasse vom Typ (4. 30) sind Hamiltonsche Systeme, additionally mechanische Systeme ohne Reibung – vergleiche etwa Abschnitt 1. 1 zur Himmelsmechanik und Abschnitt 1. 2 zur Moleküldynamik. Wir gehen aus von der Hamiltonfunktion 1 H. q; p/ D p T M 2 1 p C V . q/; q; p 2 Rd ; worin M die nichtsinguläre Massenmatrix ist. In der Moleküldynamik und in der Astronomie ist die Massenmatrix M in der Regel diagonal, in der Mehrkörperdynamik (z. B. Robotik) manchmal auch, je nach Koordinatenwahl, von der Diagonalgestalt leicht abweichend. Auf jeden Fall ist M extrem dünnbesetzt, so dass der Aufwand für die Lösung der entsprechenden linearen Gleichungssysteme vernachlässigbar ist. Aus H. q; p/ erhält guy Hamiltonsche Differentialgleichungen q zero D Hp D M 1 p0 D p; Hq D rV . q/ (4. 35) zu gegebenen Anfangswerten q. zero/ D q0 ; p. zero/ D M v0 . Differenzieren wir die erste Gleichung ein weiteres Mal nach t , so erhalten wir obige Standardform q 00 D M 1 rV . q/ Á f . q/ (4. 36) zu analogen Anfangswerten q. zero/ D q0 ; q zero . zero/ D v0 . Offenbar sind die 2nd Differentialgleichungen erster Ordnung (4. 35) und die d Differentialgleichungen zweiter Ordnung (4. 36) äquivalent. Physikalisch ist die Hamiltonfunktion die Gesamtenergie des mechanischen structures. Wegen dH D Hq q zero C Hp p zero D Hq Hp C Hp . Hq / D zero dt ist sie eine dynamische Invariante, d. h. , für alle Zeiten t gilt H. q. t /; p. t // D H. q. 0/; p. 0// D const; beziehungsweise 1 1 H. t / D q zero . t /T M q zero . t / C V . q. t // D v0T M v0 C V . q0 /: 2 2 (4. 37) In der Moleküldynamik hat sich für die Störmer-Diskretisierung die Bezeichnung Verlet-Diskretisierung eingebürgert, da L. Verlet [170] sie im Jahre 1967 in dieses Gebiet eingeführt hat. Ihre numerische Realisierung für Hamiltonsche Systeme lautet 187 four.

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